广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷

更新时间：2024-05-07 浏览次数：25 类型：高考模拟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . -2 D . -1

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

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4. 已知正四棱台 $\text{[math]}$ 的上､下底面边长分别为1和2，且 $\text{[math]}$ ，则该棱台的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设 $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点和上焦点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的解析式可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的两个零点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\text{[math]}$ 不共线，向量 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角，则下列结论一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量相等 D . $\text{[math]}$

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10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 $\text{[math]}$ 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于不同两点 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与在点 $\text{[math]}$ 处的切线相交于点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ .

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13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 $\text{[math]}$ （单位：克）与脉搏率 $\text{[math]}$ （单位：心跳次数/分钟 $\text{[math]}$ 的对应数据 $\text{[math]}$ ，根据生物学常识和散点图得出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 近似满足 $\text{[math]}$ 为参数 $\text{[math]}$ .令 $\text{[math]}$ ，计算得 $\text{[math]}$ .由最小二乘法得经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值 $\text{[math]}$ ，若残差平方和 $\text{[math]}$ ，则决定系数 $\text{[math]}$ .（参考公式：决定系数 $\text{[math]}$ .）

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14. 已知曲线 $\text{[math]}$ 是平面内到定点 $\text{[math]}$ 与到定直线 $\text{[math]}$ 的距离之和等于6的点的轨迹，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，对给定的点 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的最小值，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应马出文字说明､证明过程或璌算步骤.

15. 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.
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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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17. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极小值；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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18. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为4，且经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，是否存在定圆 $\text{[math]}$ ，使得当过点 $\text{[math]}$ 能作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ 时（其中 $\text{[math]}$ 分别是两切线与 $\text{[math]}$ 的另一交点），总满足 $\text{[math]}$ ？若存在，求出圆 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由.
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19. (2024高二下·重庆市月考) 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 $\text{[math]}$ 位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知 $\text{[math]}$ 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 $\text{[math]}$ 的均值；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 团队第 $\text{[math]}$ 位成员上场且闯过第二关的概率为 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ 中元素的最小值为 $\text{[math]}$ ，规定团队人数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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