北京市延庆区2024届高考一模数学试题

更新时间：2024-05-07 浏览次数：22 类型：高考模拟

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 8

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6. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为第一或第三象限角”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设a=log₃2，b=log₉6，c= $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的动点，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 内的动点， $\text{[math]}$ ，则满足条件的点 $\text{[math]}$ 构成的图形的面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为．

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12. $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为．

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则 $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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14. 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 $\text{[math]}$ 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 $\text{[math]}$ 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 $\text{[math]}$ 块，向外每环依次也增加 $\text{[math]}$ 块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) $\text{[math]}$ 块，则上层有扇形石板块．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 给出下列四个结论：
①存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
②存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
③存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 恰有 $\text{[math]}$ 个零点；
④存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 恰有 $\text{[math]}$ 个零点．
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到 $\text{[math]}$ 的图象，求函数 $\text{[math]}$ 的单调增区间．
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17. 第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：

12月16日	星期六	9：30	单人雪橇第1轮
		10：30	单人雪橇第2轮
		15：30	双人雪橇第1轮
		16：30	双人雪橇第2轮
12月17日	星期日	9：30	单人雪橇第3轮
		10：30	单人雪橇第4轮
		15：30	团体接力

（1）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
（2）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记 $\text{[math]}$ 为看到双人雪橇的次数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及期望 $\text{[math]}$ ；
（3）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“ $\text{[math]}$ ”表示小明在周六看到单人雪橇，“ $\text{[math]}$ ” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“ $\text{[math]}$ ”表示小明在周日看到单人雪橇，“ $\text{[math]}$ ”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系．

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18. 如图，四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角 $\text{[math]}$ 唯一确定，并求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ ；
  条件③： $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的上、下顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的左、右顶点．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为第二象限内 $\text{[math]}$ 上的动点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 的一条切线方程为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为增函数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 无零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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21. 已知数列 $\text{[math]}$ ，记集合 $\text{[math]}$ .
1. （1）若数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，写出集合 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出一组符合条件的 $\text{[math]}$ ；若不存在，说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，把集合 $\text{[math]}$ 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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